因数分解 (2)

立方の和 \(a^3 + b^3\), 立方の差 \(a^3 – b^3\) の因数分解公式を解説します.


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● 展開公式をいじり倒そう ●

和の \(3\) 乗の展開公式

 \(\large\color{blue}{(a+b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3}\)

をいじってみよう. 新しい因数分解公式が得られるぞ.

 

まず, 両辺を入れ替える.

 \(a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3 = (a+b)^3\)

 

\(3a^2b + 3ab^2\) を \(3ab(a+b)\) とし, \(a^3 + b^3\) を残して移項する.

 \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 -3ab(a+b)\)

 

右辺で, 共通因数 \((a+b)\) をくくり出す.

とくに, \((a+b)^3\) は \((a+b) \cdot (a+b)^2\) なので, \((a+b)\) をくくり出すと \((a+b)^2\) が残るよ.

 \(a^3 + b^3 = (a+b)\{(a+b)^2 -3ab\}\)

 

\(\{\ \ \ \ \ \ \ \}\) 内を展開, 整理すると できあがり.

 \(\large\color{blue}{a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 -ab +b^2)}\) \(\cdots\) ①

 

「\(3\) 乗 \(+\) \(3\) 乗」 の形の式を因数分解する公式の誕生だ!

 

念のため, 右辺を展開して左辺になることを確認しておこう.

 \((\color{teal}{a}+\color{magenta}{b})(a^2 -ab +b^2)\)

 \(=\color{teal}{a}\cdot a^2 – \color{teal}{a}\cdot ab + \color{teal}{a}\cdot b^2\)

  \(+\color{magenta}{b}\cdot a^2 – \color{magenta}{b}\cdot ab + \color{magenta}{b}\cdot b^2\)

 \(=a^3 -a^2 b + ab^2 + a^2 b – ab^2 + b^3\)

 \(=a^3 + b^3\)

 

まだまだ行くぞ!

 

① において \(a\), \(b\) は数なら何でもよい. 食べ物や乗り物でなければ.

そこで \(b\) を \(-b\) という数に替えると,

 \(a^3 + (-b)^3\) \(= \{a+(-b)\}\{a^2 – a \cdot (-b) +(-b)^2\}\)

より,

 \(\large\color{blue}{a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 +ab +b^2)}\)

 

これで 「\(3\) 乗 \(-\) \(3\) 乗」 の形の式を因数分解する公式もできたね.

 

① で \(\color{red}{b^{奇数}}\) の項の符号だけを逆符号にしたもの

になることもわかるはずだ.

 

これも念のため, 右辺を展開する左辺に戻ることを確かめよう.

 \((\color{teal}{a}-\color{magenta}{b})(a^2 +ab +b^2)\)

 \(=\color{teal}{a}\cdot a^2 + \color{teal}{a}\cdot ab + \color{teal}{a}\cdot b^2\)

  \(-\color{magenta}{b}\cdot a^2 – \color{magenta}{b}\cdot ab – \color{magenta}{b}\cdot b^2\)

 \(=a^3 +a^2 b + ab^2 – a^2 b – ab^2 – b^3\)

 \(=a^3 – b^3\)


Point <因数分解 (立方の和・差)> ★★

 \([1]\) \(\large\color{blue}{a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 -ab +b^2)}\)

\(b\) を \(-b\) に置き換えると,

 \([2]\) \(\large\color{blue}{a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 +ab +b^2)}\)

\(b^{奇数}\) にはマイナスがつく.


■ 例題 <因数分解 (立方の和・差)> ■

次の式を因数分解せよ.

\((1)\) \(x^3 + 8\)

\((2)\) \(8a^3 – 27b^3\)

\((2)\) 北海道工業大 (歯・薬)


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■ 解答 ■

\((1)\)

 \(\large\color{blue}{A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)}\)

で \(\color{blue}{A}=x\), \(\color{blue}{B}=2\) とする.

 \(x^3 + 8\)

 \(=x^3 + 2^3\)

 \(=(x+2)(x^2 – x \cdot 2 + 2^2)\)

 \(=(x+2)(x^2 – 2x +4)\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \(\large\color{blue}{A^3 – B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)}\)

で \(\color{blue}{A}=2a\), \(\color{blue}{B}=3b\) とする.

 \(8a^3 – 27b^3\)

 \(=(2a)^3 – (3b)^3\)

 \(=(2a – 3b)\{(2a)^2 + 2a \cdot 3b + (3b)^2\}\)

 \(=(2a – 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2)\) \(\cdots\) (答)


■ 練習 <因数分解 (立方の和・差)> ■

次の式を因数分解せよ.

\((1)\) \(x^3 + 27\)

\((2)\) \(x^3 – 64\)

\((3)\) \(27x^3 + 8y^3\)

\((4)\) \(8a^3 -125b^3\)

\((1)\) 群馬医療福祉大 (看・リハビリ)

\((3)\) 北海道医療大 (歯・薬)

\((4)\) 関西学院大


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■ 解答 ■

\((1)\)

 \(\large\color{blue}{A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)}\)

で \(\color{blue}{A}=x\), \(\color{blue}{B}=3\) とする.

 \(x^3 + 27\)

 \(=x^3 + 3^3\)

 \(=(x+3)(x^2 – x \cdot 3 + 3^2)\)

 \(=(x+3)(x^2 – 3x +9)\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \(\large\color{blue}{A^3 – B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)}\)

で \(\color{blue}{A}=x\), \(\color{blue}{B}=4\) とする.

 \(x^3 – 64\)

 \(=x^3 – 4^3\)

 \(=(x-4)(x^2 + x \cdot 4 + 4^2)\)

 \(=(x-4)(x^2 + 4x + 16)\) \(\cdots\) (答)

 

\((3)\)

 \(\large\color{blue}{A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)}\)

で \(\color{blue}{A}=3x\), \(\color{blue}{B}=2y\) とする.

 \(27x^3 + 8y^3\)

 \(=(3x)^3 + (2y)^3\)

 \(=(3x+2y)\{(3x)^2 – 3x \cdot 2y + (2y)^2\}\)

 \(=(3x+2y)(9x^2 – 6xy +4y^2)\) \(\cdots\) (答)

 

\((4)\)

 \(\large\color{blue}{A^3 – B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)}\)

で \(\color{blue}{A}=2a\), \(\color{blue}{B}=5b\) とする.

 \(8a^3 – 125b^3\)

 \(=(2a)^3 – (5b)^3\)

 \(=(2a – 5b)\{(2a)^2 + 2a \cdot 5b + (5b)^2\}\)

 \(=(2a – 5b)(4a^2 + 10ab + 25b^2)\) \(\cdots\) (答)


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