因数分解 (3)

\(a^3 + b^3 + c^3\) を含む式の因数分解を解説します.


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● 3立方の和は因数分解できるか? ●

\(2\) つの \(3\) 乗 (立方) の和 \(a^3 + b^3\) は, 展開公式

 \(\large\color{red}{(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 +b^3}\)

を変形することで

 \(\large\color{red}{a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab +b^2)}\)

と因数分解できたね.

(参照: 「因数分解 (2)」)

 

では, \(3\) つの立方の和 \(a^3 + b^3 + c^3\) も因数分解できるかな?

既知の式を利用して試みよう.

 

その前に一つ予想を.

 

\(a^3 + b^3\) の因数分解には \(a+b\) が出てきたので,

\(a^3 + b^3 +c^3\) が因数分解できたとしたら \(a+b+c\) (\(=M\) としよう) が出てくるのではないか.

つまり \(M\) をくくり出した形 \(M(\ \ \ \ \ \ \ \ )\) を予想しよう.

 

 \(\color{red}{A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)}\)

の \(\color{red}{A}\), \(\color{red}{B}\) は数なら何でもよいので,

\(\color{red}{A}=a+b\), \(\color{red}{B}=c\) とすると,

 \((a+b)^3 + c^3\) \(=\{(a+b)+c\}\{(a+b)^2 – (a+b)c + c^2\}\)

 

\((a+b)+c=a+b+c=M\) が出てきたね!

左辺と, 右辺の \(\{\ \ \ \ \ \}\) 内をそれぞれ展開すると,

\(a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 + c^3\) \(=M(a^2 + 2ab + b^2 – ca – bc + c^2)\)

 

左辺に \(a^3 + b^3 + c^3\) も出てきた!

これが残るように 他項を移項する と,

\(a^3 + b^3 + c^3\) \(=M(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca)\) \(\color{red}{- 3a^2 b – 3ab^2}\)

 

まだまだ \(a+b+c=M\) が作れるぞ.

 

両辺から \(\color{red}{3abc}\) を引く と,

 \(a^3 + b^3 + c^3 \color{red}{-3abc}\) \(=M(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca)\) \(- 3a^2 b – 3ab^2 \color{red}{-3abc}\)

 

右辺の後ろの部分は

 \(-3ab(a+b+c)=\color{red}{-3abM}\)

と表されるので,

 \(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc\) \(=M(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca)\) \(\color{red}{-3abM}\)

 

右辺から共通因数 \(M\) をくくり出すと,

 \(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc\) \(=\color{red}{M}(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca \color{red}{- 3ab})\)

 

そう, \(a^3 + b^3 + c^3\) は因数分解できないが,

\(-3abc\) を加えれば因数分解できるんだ.

 

\(M\) を \(a+b+c\) に戻し, \((\ \ \ \ \ )\) 内を整理すると,

 \(\large\color{red}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\large\color{red}{=(a+b+c)}\) \(\large\color{red}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)


● 直接 因数分解してみよう ●

次に, はじめから \(a^3 + b^3 + c^3 -3abc\) が因数分解できることがわかっている (既知) として, 直接 因数分解してみよう.

 

試験で 「\(a^3 + b^3 + c^3 -3abc\) を因数分解せよ. (その過程を書け.)」 なんて言われたら, 次のようにやるといい.

 

まず, 和の立方の展開式を変形したものを作っておく.

 \((x+y)^3 = x^3 +3x^2 y + 3xy^2 + y^3\)

 \((x+y)^3 = x^3 + 3xy(x+y) + y^3\)

 \(\large\color{red}{x^3 + y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y)}\) \(\cdots\) ②

これより,

 \(\color{red}{a^3 + b^3} + c^3 -3abc\)

 \(=\color{red}{(a+b)^3 -3ab(a+b)} +c^3 – 3abc\)

  (② より)

 \(=A^3 -3abA +c^3 – 3abc\)

  (\(a+b=A\) とおいた.)

 \(=\color{red}{A^3 + c^3} – 3abA – 3abc\)

 \(=\color{red}{(A+c)^3 – 3Ac(A+c)} – 3ab(A+c)\)

  (② で \(x=A\), \(y=c\) とした.)

 \(=(A+c)\{(A+c)^2 – 3Ac – 3ab\}\)

  (\(A+c\) をくくり出した.)

 \(=(a+b+c)\) \(\{(a+b+c)^2 – 3(a+b)c -3ab\}\)

 \(=(a+b+c)\) \((a^2 + b^2 + c^2\) \(+ 2ab + 2bc + 2ca -3ca -3bc -3ab)\)

 \(=(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)\)


● どんなとき使うの? ●

今後,

 \(\large\color{red}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\large\color{red}{=(a+b+c)}\) \(\large\color{red}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)

は重要公式だ.

 

これを使う目印は 「\(\color{red}{3}\) つの \(\color{red}{3}\) 乗」.

 

例えば,

 \(x^3 – 8y^3 + 6xy +1\)

という式には \(3\) つの \(3\) 乗が隠れているんだけど, どこかわかるかな?

 

\(1\) つは \(x^3\). これは視力さえあればわかる. つまり視力検査.

 

\(2\) つ目は \(y^3\)

ではなく, \(-8y^3 = (-2y)^3\).

あとでわかるが, こう考えないと公式に当てはまらないんだ.

 

\(3\) つ目は, そう, \(1=1^3\).

こういうただの数字にも注意だ.

 

\(x=a\), \(-2y=b\), \(1=c\) とすると

 \(x^3 – 8y^3 +6xy +1\)

 \(=x^3 + (-2y)^3 + 1^3 – 3 \cdot x \cdot (-2y) \cdot 1\)

 \(=a^3 + b^3 + c^3 – 3abc\)

なので, 公式に当てはめて因数分解できるぞ.


Point <因数分解 (3立方)> ★★★

 \(\large\color{red}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\large\color{red}{=(a+b+c)}\) \(\large\color{red}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)

「\(3\) つの \(3\) 乗」 を見たらこの公式.


■ 例題 ■ <因数分解 (3立方)>

次の式を因数分解せよ.

\((1)\) \(x^3 + y^3 – 3xy +1\)

\((2)\) \(p^3 – q^3 – 27r^3 -9pqr\)

\((1)\) 関西大 (経・文)

\((2)\) 旭川医科大


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■ 解答 ■

\((1)\)

 \(\color{red}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\color{red}{=(a+b+c)}\) \(\color{red}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)

で \(\color{red}{a}=x\), \(\color{red}{b}=y\), \(\color{red}{c}=1\) とする.

 \(x^3 + y^3 – 3xy +1\)

 \(=x^3 + y^3 + 1^3 – 3 \cdot x \cdot y \cdot 1\)

 \(=(x+y+1)\) \((x^2 + y^2 + 1^2 – xy -y \cdot 1 – 1 \cdot x)\)

 \(=(x+y+1)(x^2 + y^2 – xy – x – y – 1)\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \(\color{red}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\color{red}{=(a+b+c)}\) \(\color{red}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)

で \(\color{red}{a}=p\), \(\color{red}{b}=-q\), \(\color{red}{c}=-r\) とする.

 \(p^3 – q^3 – 27r^3 -9pqr\)

 \(=p^3 + (-q)^3 + (-3r)^3\) \(- 3 \cdot p \cdot (-q) \cdot (-3r) – 3 \cdot p \cdot (-q) \cdot (-3r)\)

 \(=\{p+(-q)+(-3r)\}\) \(\{p^2 + (-q)^2 + (-3r)^2\) \(- p \cdot (-q) – (-q) \cdot (-3r) – (-3r) \cdot p\}\)

 \(=(p-q-3r)\) \((p^2 + q^2 + 9r^2 +pq – 3qr + 3rp)\) \(\cdots\) (答)


■ 練習 ■ <因数分解 (3立方)>

次の式を因数分解せよ.

\((1)\) \(x^3 – 8y^3 + 6xy +1\)

\((2)\) \(8x^3 + 27y^3 +18xy -1\)

\((1)\) 北海道医療大 (歯・薬)

\((2)\) 立命館大 (薬)


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■ 解答 ■

\((1)\)

 \(\color{red}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\color{red}{=(a+b+c)}\) \(\color{red}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)

で \(\color{red}{a}=x\), \(\color{red}{b}=-2y\), \(\color{red}{c}=1\) とする.

 \(x^3 – 8y^3 + 6xy +1\)

 \(=x^3 + (-2y) + 1^3 – 3x \cdot (-2y) \cdot 1\)

 \(=\{x + (-2y) + 1\}\) \(\{x^2 + (-2y)^2 + 1^2\) \(- x \cdot (-2y) – (-2y) \cdot 1 – 1 \cdot x\}\)

 \(=(x-2y+1)\) \((x^2 + 4y^2 + 2xy – x + 2y +1)\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \(\color{red}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\color{red}{=(a+b+c)}\) \(\color{red}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)

で \(\color{red}{a}=2x\), \(\color{red}{b}=3y\), \(\color{red}{c}=-1\) とする.

 \(8x^3 + 27y^3 +18xy -1\)

 \(=(2x)^3 + (3y)^3 + (-1)^3 – 3 \cdot 2x \cdot 3y \cdot (-1)\)

 \(=\{2x + 3y + (-1)\}\) \(\{(2x)^2 + (3y)^2 + (-1)^2\) \(- 2x \cdot 3y – 3y \cdot (-1) – (-1) \cdot 2x\}\)

 \(=(2x+3y-1)\) \((4x^2 + 9y^2 – 6xy +2x + 3y +1)\) \(\cdots\) (答)


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