因数分解 (4)

置換を利用した因数分解のしかたを解説します.


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● 因数分解は限界まで ●

因数分解は まず,

① \(\large\bf\color{blue}{共通因数}\) があればくくり出し,

② 当てはまる \(\large\bf\color{blue}{乗法公式}\) があれば適用する

んだったね.

 

 \(4x^2 -36y^2\)

 \(=4(x^2 -9y^2)\)

  (共通因数 \(4\) をくくり出した.)

 \(=4\{x^2 -(3y)^2\}\)

 \(=4(x+3y)(x-3y)\)

  (\(\large\color{blue}{a^2 -b^2=(a+b)(a-b)}\) で \(\color{blue}{a}=x\), \(\color{blue}{b}=3y\) とした.)

 

ところで,

 \(4x^2 -36y^2\)

 \(=(2x)^2 – (6y)^2\)

 \(=(2x+6y)(2x-6y)\)

として終わってはダメだよ.

 

まだくくり出せる共通因数が \((\ \ \ )\) 内に残っているからね.

 

因数分解は原則, これ以上できなくなるまでやらなきゃダメだ.

因数分解は「限界」まで!

 

そのためにも, 最初に 共通因数がないかのチェックを忘れずにしよう.


● 原則, 有理数の範囲で ●

\(4x^2 -36y^2\) を 「限界まで」 因数分解すると \(4(x+3y)(x-3y)\)

とは言ったものの,

これはまだまだ因数分解できるんじゃないかと思ったこと, ない?

 

例えば \(x-3y\) の \(x\) は \((\sqrt{x})^2\), \(3y\) は \((\sqrt{3y})^2\) だと考えて,

 \(x-3y\)

 \(=(\sqrt{x})^2 – (\sqrt{3y})^2\)

 \(=(\sqrt{x} + \sqrt{3y})(\sqrt{x} – \sqrt{3y})\)

とかね.

 

そうです, 変態です.

 

これは実は やり過ぎ.

「因数分解せよ」 と言われたら,

とくに断りがなければ, 有理数の範囲で (\(\color{red}{\sqrt{\ \ \ }}\) を使わずに) おこなう

ことになっているんだ.

 

だから \(4(x+3y)(x-3y)\) はこれ以上変形しなくてよし.


● 困ったときの 置換・整理・完成 ●

① \(\large\bf\color{blue}{共通因数}\) があればくくり出し,

② 当てはまる \(\large\bf\color{blue}{乗法公式}\) があれば適用する

ことをしても因数分解できない場合はどうするか.

 

対処法が \(3\) つあるぞ.

 

\(\large\bf\color{blue}{置換}\) \(\cdots\) 式の一部を \(1\) 文字に置き換える.

\(\large\bf\color{blue}{整理}\) \(\cdots\) \(1\) 文字についての式とみて他の文字を係数扱いし, 同類項をまとめる.

\(\large\bf\color{blue}{完成}\) \(\cdots\) 平方完成して \((\ \ \ )^2 – (\ \ \ )^2\) の形をつくる. または, 立方完成して \((\ \ \ )^3 \pm (\ \ \ )^3\) の形をつくる.

 

これらのいずれかを実行すると,

今まで見えなかった \(\large\bf\color{blue}{共通因数}\) が出てきたり,

\(\large\bf\color{blue}{乗法公式}\) が使える形になったりするぞ.


Point <因数分解の手順> ★★★

① \(\large\bf\color{blue}{共通因数}\) (なければつくれ)

➁ \(\large\bf\color{blue}{公式}\)・\(\large\bf\color{blue}{定理}\)(※)

③ \(\large\bf\color{blue}{置換}\)・\(\large\bf\color{blue}{整理}\)・\(\large\bf\color{blue}{完成}\)

(→ ① へ戻る)

原則, 有理数範囲で限界まで.

※ 別ページで解説する 「因数定理」 を指します.


● 2乗は平方, 3乗は立方, 4乗は?

ここでは 「\(\large\bf\color{blue}{置換}\)」 を用いた因数分解をやってみよう.

「\(\large\bf\color{blue}{整理}\)」・「\(\large\bf\color{blue}{完成}\)」 については別ページで解説するぞ.

 

突然だがクイズ.

 

\(2\) 乗は 「平方」, \(3\) 乗は 「立方」.

では, \(4\) 乗は何という?

 

昔から \(2\) 乗, つまり平方といえば 「平方メートル \(\rm{m^2}\)」 などから連想されるように 「面積」 のイメージ.

\(3\) 乗, すなわち立方は 「立方メートル \(\rm{m^3}\)」 などの単位がつく 「体積」.

しかし \(4\) 乗は対応する図形的概念が見当たらないよね.

 

そんなわけで, 昔は \(4\) 乗は 「二重平方」 と呼ばれていたらしい.

 

信じるか信じないかは あなた次第です.

 

\(4\) 乗は 「\(\color{red}{2}\) 乗の \(\color{red}{2}\) 」 という考え方だ.

式で表現すると

 \(\color{red}{x^4 = (x^2)^2}\)

 

苦し紛れのようだが, このような式の見方が役立つときがあるぞ.

 

例えば \(x^4 – 6x^2 + 8\) の因数分解.

共通因数はないし, \(4\) 乗を含む因数分解公式は知らない.

 

でも, \(4\) 乗は 「二重平方」 と考えて,

 \(\color{red}{(x^2)^2} – 6x^2 + 8\)

 

\(x^2 = X\) と 置き換える と,

 \(X^2 – 6X + 8\)

 

気づけば 乗法公式

 \((X-2)(X-4)\)

と因数分解できる形になっているね.

 

\(X\) を もとの \(x^2\) に戻して,

 \((x^2 – 2)(x^2 – 4)\)

 

有理数範囲で限界まで 因数分解すると,

 \((x^2 + 2)(x+2)(x-2)\)

 

(\(\underline{(x + \sqrt{2})(x – \sqrt{2})}(x+2)(x-2)\) は やり過ぎ.)


● ゴツめの置換もやってみよう ●

例えば

 \((x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)-24\)

という式も置換によって上手に因数分解できるんだけど,

どう置き換えたらいいかな?

 

\(x^2 = X\) とすると \(5x\) の \(x\) が \(\pm\sqrt{X}\) になってしまって, 逆にやりづらい.

 

そこで, \(2\) 箇所に出てくる \(x^2 + 5x\) を \(1\) 文字に置き換えてみよう.

 

\(x^2 + 5x = X\) とおくと,

 \((X+4)(X+6)-24\)

 

展開, 整理すると,

 \(X^2 + 10X\)

 

これなら因数分解できるね!

 

あとは \(X\) を \(x^2 + 5x\) に戻して限界まで因数分解するだけだ.

 

では こんなのはどう?

 \((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24\)

 

これも一度展開してから因数分解するパターンだ.

 

\((x+1)(x+2)\) と \((x+3)(x+4)\) をそれぞれ展開して

 \((x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12)-24\)

とすると, このあと展開するのも大変そうだし, さっきみたいなうまい置換もできないよね.

 

しかし, 展開の 順序変更 をして

 \(\color{blue}{(x+1)(x+4)} \cdot \color{magenta}{(x+2)(x+3)} – 24\)

 \(=\color{blue}{(x^2 + 5x + 4)} \color{magenta}{(x^2 + 5x + 6)}-24\)

とすれば \(x^2 + 5x\) が \(2\) 箇所に現れて, これを \(X\) とおけば展開しやすい.

 

これは前出の式と同じなので, もう因数分解できるね.

 

\((\ \ \ \ \ )\) がいっぱい出てきたら,

うまく順序変更して置換しやすい形にもっていこう.


■ 例題 ■ <因数分解 (4次式)>

次の式を因数分解せよ.

\((1)\) \(x^4 – 6x^2 + 8\)

\((2)\) \((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24\)

\((2)\) 京都産業大


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■ 解答 ■

\((1)\)

 \(x^4 – 6x^2 + 8\)

 \(=(x^2)^2 – 6x^2 + 8\)

 \(=X^2 – 6X +8\)

  (\(x^2 = X\) とおいた.)

 \(=(X-2)(X-4)\)

 \(=(x^2 – 2)(x^2 – 4)\)

 \(=(x^2 – 2)(x+2)(x-2)\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \(\color{blue}{(x+1)} \color{magenta}{(x+2)(x+3)} \color{blue}{(x+4)} – 24\)

 \(=\color{blue}{(x+1)(x+4)} \cdot \color{magenta}{(x+2)(x+3)} – 24\)

 \(=\color{blue}{(x^2 + 5x + 4)} \color{magenta}{(x^2 + 5x +6)} – 24\)

 \(=\color{blue}{(X+4)} \color{magenta}{(X+6)} – 24\)

  (\(x^2 + 5x = X\) とおいた.)

 \(=X^2 + 10X + 24 – 24\)

 \(=X^2 + 10X\)

 \(=X(X+10)\)

 \(=(x^2 + 5x)(x^2 + 5x + 10)\)

 \(=x(x+5)(x^2 + 5x + 10)\) \(\cdots\) (答)


■ 練習 ■ <因数分解 (4次式)>

次の式を因数分解せよ.

\((1)\) \(x^4 – 10x^2 + 9\)

\((2)\) \((x-4)(x-2)(x+1)(x+3)+24\)

\((1)\) 八戸学院短大

\((2)\) 東洋大 (工)


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■ 解答 ■

\((1)\)

 \(x^4 – 10x^2 + 9\)

 \(=(x^2)^2 – 10x^2 +9\)

 \(=X^2 – 10X + 9\)

  (\(x^2 = X\) とおいた.)

 \(=(X-1)(X-9)\)

 \(=(x^2 – 1)(x^2 – 9)\)

 \(=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \(\color{blue}{(x-4)} \color{magenta}{(x-2)(x+1)} \color{blue}{(x+3)} + 24\)

 \(=\color{blue}{(x-4)(x+3)} \cdot \color{magenta}{(x-2)(x+1)} + 24\)

 \(=\color{blue}{(x^2 – x – 12)} \color{magenta}{(x^2 – x – 2)} + 24\)

 \(=\color{blue}{(X-12)} \color{magenta}{(X-2)} + 24\)

  (\(x^2 – x = X\) とおいた.)

 \(=X^2 – 14X + 24 + 24\)

 \(=X^2 – 14X + 48\)

 \(=(X-6)(X-8)\)

 \(=(x^2 – x – 6)(x^2 – x – 8)\)

 \(=(x+2)(x-3)(x^2 – x – 8)\) \(\cdots\) (答)


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