濃度算

\(5\) % の食塩水と, \(13\) % の食塩水を混ぜると \(5+13=18\) % になるという人に言いたい.

\(5\) ℃ の水と \(13\) ℃の水を混ぜると \(5+13=18\) ℃ になりますか?

だったら世界のエネルギー問題はすべて解決です.


● 加重平均 ●

ある大学が, 入試で英数 \(2\) 科目の得点の平均で合否を決めたいと考えた.

例えば, 英語が \(50\) 点で数学が \(90\) 点だったら, \(2\) 科目の平均をとって,

 \(\displaystyle\frac{50+90}{2}=70\) 点

となる.

これを数直線で表現すると, \(70\) 点の位置は \(50\) 点と \(90\) 点の中点にあたる.濃度算 1

同じ質量の \(2\) つのおもりをつり下げたてんびんが, それらの位置の中点を支点としてつり合うのと似ているね.

 

しかし理系の学部だったら,

 \(英:数=1:3\)

つまり, 英語に対して数学に \(3\) 倍のウエイトをおきたいということがあるだろう.

そういうときは, 「英数数数 \(4\) 科目」 の入試と考えて,

 \(\displaystyle\frac{50+90+90+90}{4}=80\) 点

とすればよい. これが 加重平均 とよばれるものだ.

濃度算 2

結果, 平均がかなり数学寄りになったのがわかる.

具体的には, この \(80\) 点の位置は, 英語の得点の位置からの距離が

 \(80-50=30\)

数学の得点からの距離が

 \(90-80=10\)

だから,

 \((英語からの距離):(数学からの距離)=3:1\)

そう, 得点のウエイト \(英:数=1:3\) の逆比になっている.

距離の比はウエイトの比の逆比

濃度算 3

実際, てんびんに質量比 \(1:3\) のおもりをつり下げると, 図のように, つり下げた位置を \(3:1\) に分ける位置を支点としてつり合う.

 

さて, \(5\) % の食塩水と, \(13\) % の食塩水を同じ量 \(100\) g ずつとって混ぜると, 何 % になるかな?

「しょっぱさ \(5\)」 の食塩水と 「しょっぱさ \(13\)」 の食塩水を同じ量ずつ混ぜるわけだから, ちょうど中間の 「しょっぱさ \(9\)」 になると考えられる.

濃度算 4

※ 図では数直線の矢印は省略してあります.

では, \(5\) % の食塩水 \(100\) g と, \(13\) % の食塩水 \(300\) g を混ぜると, 何 % になるか. つまり, しょっぱくないほうに対してしょっぱいほうのウエイトが \(3\) 倍の場合だ.


 ■ 例題 1 <混合後の濃度> ■

\(5\) % の食塩水 \(100\) g と, \(13\) % の食塩水 \(300\) g を混ぜると, 何 % の食塩水になるか.


■ 解答 ■

混合後の濃度を \(x\) % とおく.

濃度算 5

 \((x-5):(13-x)=3:1\)

より,

 \(x-5=3(13-x)\)

 \(x-5=39-3x\)

 \(4x=44\)

 \(x=11\)

答 \(11\) %


次のように計算してもよいでしょう.

これなら暗算でも答えが出ます.


■ 別解 ■

混合後の濃度を \(x\) % とする.

濃度算 5

図において,

 \(\color{red}{④}=13-5=8\) %

 \(\color{red}{①}=8\div4=2\) %

 \(\color{red}{③}=2\times3=6\) %

よって,

 \(x=5+6=11\) %

答 \(11\) %


Point <濃度算>★★★

てんびん法 (加重平均)

量の逆比は長さの比


逆に, 混合後の濃度から食塩水の量を求めることもできます.


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■ 例題 2 <食塩水の量> ■

\(4\) % の食塩水 \(600\) g に, \(14\) % の食塩水を何 g 加えると, \(8\) % の食塩水になるか.


■ 解答 ■

\(14\) % の食塩水の量を \(x\) g とおく.

 \((8-4):(14-8)=4:6=2:3\)

濃度算 7

 \(600:x=3:2\)

より,

 \(3x=1200\)

 \(x=400\)

答 \(400\) g


以上の解法が 「てんびん法」 とよばれているものです.

加えるものが 「水」, 「塩」 である場合もそれぞれ 「\(0\) % 食塩水」, 「\(100\) % 食塩水」 と考えることにより, この解法が使えます.

なお, \(3\) 種類の食塩水を混ぜる場合は \(2\) 回に分けて計算を行えば O.K.


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