集合


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● 集合 って ? ●

「ものの集まり」 のこと.

集まっているものは, 物でも人でも数でも何でもいいんだ.


● 便利グッズ、ベン図 ●

 集合の問題を解きやすくする便利グッズがある.

その名も \(\large\color{red}{ベン図}\) (Venn diagram).

 

おおげさに言っているが, 集合を丸や四角などで表した図のことだ.

クラス全員の集合 (\(\large\color{red}{全体集合}\))と, その一部である野球部員の集合 (\(\large\color{red}{部分集合}\)) をこんなふうに表したりする.

 

ベン図は哲学者のジョン・ベンさん (John Venn, 英, 1834-1923) という人が考案したと言われている.

 

この人がジョン・ベン.

 

だれがションベンだ!

俺 ケンブリッジ大学だぞ なめんなよ.

 

という声が聞こえてきそうである.


● 共通部分 ●

あるクラスで野球部とサッカー部を掛け持ちしているすごい人たちがいたとしよう.

 

この人たちは野球部員の集合に属し かつ サッカー部員の集合にも属す.

このような兼部をしている人たちの集合を, \(2\) つの集合の \(\large\color{red}{共通部分}\) という.


● 和集合 ●

日常で

「あの人は野球部 または サッカー部に入っている.」

と言われたら, ふつうはどっちか一方に所属していると解釈するよね.

 

ところが!

 

数学で 「または」 というときは兼部の人も含める.

「野球部 または サッカー部」 とは野球部とサッカー部の少なくとも一方に属しているものの集合で,

これを \(2\) つの集合の \(\large\color{red}{和集合}\) という.

 

\(\color{red}{2}\) つの集合の共通部分も和集合に含まれるのだ.


● 雪だるま公式 ●

あるクラスに 野球部員 が \(\color{blue}{6}\) , サッカー部員 が \(\color{magenta}{8}\) , 共通部分 「野球部員 かつ サッカー部員」 が \(\color{purple}{3}\) いたとしよう.

このとき, 和集合 「野球部員 または サッカー部員」 の人数を求めたい.

ベン図で見ると 雪だるま みたいな形をした部分の人数だ.

 

各部員を点 (●) で表し, カウントされたものにはチェック印を付けていく.

 

まず 野球部員 の \(\color{blue}{6}\) . \(6\) つのチェック印を付ける.

次に サッカー部員 の \(\color{magenta}{8}\) . さらに \(8\) つのチェック印を付ける.

ここまで合計 \(\color{blue}{6}+\color{magenta}{8}(=14)\) 個 付けたことになる.

 

しかしよく見ると, 兼部 の \(\color{purple}{3}\) はダブルチェックしているため, \(\color{red}{3}\) 個を消す.

結果, \(\color{blue}{6}+\color{magenta}{8}-\color{red}{3}(=11)\) 個のチェック印を付けたことになる.

これこそが 「野球部員 または サッカー部員」 の人数だ.

 

これを一般化して, 「雪だるま公式」 とでも名付けておこう.


Point <集合> ★★★

\(\large\color{red}{ベン図}\) を描いて考える.

「雪だるま公式」

 \(\large\color{red}{(A\ または\ B\ の人数)}\) \(\large\color{red}{=(A\ の人数)+(B\ の人数)}\) \(\large\color{red}{-(A\ かつB\ の人数)}\)

最後の引き算は ダブルチェック解消 のため.


■ 例題 ■ <集合>

あるクラスの \(40\) 人のうち, 兄がいる人 は \(\color{blue}{15}\) , 姉がいる人 は \(\color{magenta}{13}\) , 兄も姉もいる人 は \(\color{purple}{5}\) いる.

次のような人は何人いるか.

\((1)\) 兄はいるが姉はいない

\((2)\) 兄または姉がいる

\((3)\) 兄も姉もいない


■ 解答 ■

\((1)\)

 \(\color{blue}{15}-\color{purple}{5}=\color{red}{10}\ [人] \)

答 \(10\) 人

 

\((2)\)

 \(\color{blue}{15}+\color{magenta}{13}-\color{purple}{5}=\color{red}{23}\ [人] \)

答 \(23\) 人

 

\((3)\)

 \(40-\color{red}{23}=\color{red}{17}\ [人]\)

答 \(17\) 人


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集合」への1件のフィードバック

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