a^3 + b^3 + c^3 を含む式の因数分解を解説します.
● 3立方の和は因数分解できるか？ ●
2 つの 3 乗 (立方) の和 a^3 + b^3 は, 展開公式
\large\color{blue}{(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 +b^3}
を変形することで
\large\color{blue}{a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab +b^2)}
と因数分解できたね.
(参照： 「因数分解 (2)」)
では, 3 つの立方の和 a^3 + b^3 + c^3 も因数分解できるかな？
既知の式を利用して試みよう.
その前に一つ予想を.
a^3 + b^3 の因数分解には a+b が出てきたので,
a^3 + b^3 +c^3 が因数分解できたとしたら a+b+c (=M としよう) が出てくるのではないか.
つまり M をくくり出した形 M(\ \ \ \ \ \ \ \ ) を予想しよう.
\large\color{blue}{A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)}
の \color{blue}{A}, \color{blue}{B} は数なら何でもよいので,
\color{blue}{A}=a+b, \color{blue}{B}=c とすると,
(a+b)^3 + c^3 =\{(a+b)+c\}\{(a+b)^2 – (a+b)c + c^2\}
(a+b)+c=a+b+c=M が出てきたね！
左辺と, 右辺の \{\ \ \ \ \ \} 内をそれぞれ展開すると,
a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 + c^3 =M(a^2 + 2ab + b^2 – ca – bc + c^2)
左辺に a^3 + b^3 + c^3 も出てきた！
これが残るように 他項を移項する と,
a^3 + b^3 + c^3 =M(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca) \color{red}{- 3a^2 b – 3ab^2}
まだまだ a+b+c=M が作れるぞ.
両辺から \color{red}{3abc} を引く と,
a^3 + b^3 + c^3 \color{red}{-3abc} =M(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca) - 3a^2 b – 3ab^2 \color{red}{-3abc}
右辺の後ろの部分は
-3ab(a+b+c)=\color{red}{-3abM}
と表されるので,
a^3 + b^3 + c^3 – 3abc =M(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca) \color{red}{-3abM}
右辺から共通因数 M をくくり出すと,
a^3 + b^3 + c^3 – 3abc =\color{red}{M}(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca \color{red}{- 3ab})
そう, a^3 + b^3 + c^3 は因数分解できないが,
-3abc を加えれば因数分解できるんだ.
M を a+b+c に戻し, (\ \ \ \ \ ) 内を整理すると,
\large\color{blue}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc} \large\color{blue}{=(a+b+c)} \large\color{blue}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}
● 直接 因数分解してみよう ●
次に, はじめから a^3 + b^3 + c^3 -3abc が因数分解できることがわかっている (既知) として, 直接 因数分解してみよう.
試験で 「a^3 + b^3 + c^3 -3abc を因数分解せよ. (その過程を書け.)」 なんて言われたら, 次のようにやるといい.
まず, 和の立方の展開式を変形したものを作っておく.
(x+y)^3 = x^3 +3x^2 y + 3xy^2 + y^3
(x+y)^3 = x^3 + 3xy(x+y) + y^3
\large\color{red}{x^3 + y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y)} \cdots ②
これより,
\color{red}{a^3 + b^3} + c^3 -3abc
=\color{red}{(a+b)^3 -3ab(a+b)} +c^3 – 3abc
(② より)
=A^3 -3abA +c^3 – 3abc
(a+b=A とおいた.)
=\color{red}{A^3 + c^3} – 3abA – 3abc
=\color{red}{(A+c)^3 – 3Ac(A+c)} – 3ab(A+c)
(② で x=A, y=c とした.)
=(A+c)\{(A+c)^2 – 3Ac – 3ab\}
(A+c をくくり出した.)
=(a+b+c) \{(a+b+c)^2 – 3(a+b)c -3ab\}
=(a+b+c) (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca -3ca -3bc -3ab)
=(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)
● どんなとき使うの？ ●
今後,
\large\color{blue}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc} \large\color{blue}{=(a+b+c)} \large\color{blue}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}
は重要公式だ.
これを使う目印は 「\color{red}{3} つの \color{red}{3} 乗」.
例えば,
x^3 – 8y^3 + 6xy +1
という式には 3 つの 3 乗が隠れているんだけど, どこかわかるかな？
1 つは x^3. これは視力さえあればわかる. つまり視力検査.
2 つ目は y^3
ではなく, -8y^3 = (-2y)^3.
あとでわかるが, こう考えないと公式に当てはまらないんだ.
3 つ目は, そう, 1=1^3.
こういうただの数字にも注意だ.
x=a, -2y=b, 1=c とすると
x^3 – 8y^3 +6xy +1
=x^3 + (-2y)^3 + 1^3 – 3 \cdot x \cdot (-2y) \cdot 1
=a^3 + b^3 + c^3 – 3abc
なので, 公式に当てはめて因数分解できるぞ.
Point <因数分解 (3立方)> ★★★
\large\color{blue}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc} \large\color{blue}{=(a+b+c)} \large\color{blue}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}
「3 つの 3 乗」 を見たらこの公式.
■ 例題 ■ <因数分解 (3立方)>
次の式を因数分解せよ.
(1) x^3 + y^3 – 3xy +1
(2) p^3 – q^3 – 27r^3 -9pqr
(1) 関西大 (経・文)
(2) 旭川医科大
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■ 解答 ■
(1)
\large\color{blue}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc} \large\color{blue}{=(a+b+c)} \large\color{blue}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}
で \color{blue}{a}=x, \color{blue}{b}=y, \color{blue}{c}=1 とする.
x^3 + y^3 – 3xy +1
=x^3 + y^3 + 1^3 – 3 \cdot x \cdot y \cdot 1
=(x+y+1) (x^2 + y^2 + 1^2 – xy -y \cdot 1 – 1 \cdot x)
=(x+y+1)(x^2 + y^2 – xy – x – y – 1) \cdots (答)
(2)
\large\color{blue}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc} \large\color{blue}{=(a+b+c)} \large\color{blue}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}
で \color{blue}{a}=p, \color{blue}{b}=-q, \color{blue}{c}=-r とする.
p^3 – q^3 – 27r^3 -9pqr
=p^3 + (-q)^3 + (-3r)^3 - 3 \cdot p \cdot (-q) \cdot (-3r) – 3 \cdot p \cdot (-q) \cdot (-3r)
=\{p+(-q)+(-3r)\} \{p^2 + (-q)^2 + (-3r)^2 - p \cdot (-q) – (-q) \cdot (-3r) – (-3r) \cdot p\}
=(p-q-3r) (p^2 + q^2 + 9r^2 +pq – 3qr + 3rp) \cdots (答)
■ 練習 ■ <因数分解 (3立方)>
次の式を因数分解せよ.
(1) x^3 – 8y^3 + 6xy +1
(2) 8x^3 + 27y^3 +18xy -1
(1) 北海道医療大 (歯・薬)
(2) 立命館大 (薬)
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