立方の和 \(a^3 + b^3\), 立方の差 \(a^3 – b^3\) の因数分解公式を解説します.
● 展開公式をいじり倒そう ●
和の \(3\) 乗の展開公式
\(\large\color{blue}{(a+b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3}\)
をいじってみよう. 新しい因数分解公式が得られるぞ.
まず, 両辺を入れ替える.
\(a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3 = (a+b)^3\)
\(3a^2b + 3ab^2\) を \(3ab(a+b)\) とし, \(a^3 + b^3\) を残して移項する.
\(a^3 + b^3 = (a+b)^3 -3ab(a+b)\)
右辺で, 共通因数 \((a+b)\) をくくり出す.
とくに, \((a+b)^3\) は \((a+b) \cdot (a+b)^2\) なので, \((a+b)\) をくくり出すと \((a+b)^2\) が残るよ.
\(a^3 + b^3 = (a+b)\{(a+b)^2 -3ab\}\)
\(\{\ \ \ \ \ \ \ \}\) 内を展開, 整理すると できあがり.
\(\large\color{blue}{a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 -ab +b^2)}\) \(\cdots\) ①
「\(3\) 乗 \(+\) \(3\) 乗」 の形の式を因数分解する公式の誕生だ！
念のため, 右辺を展開して左辺になることを確認しておこう.
\((\color{teal}{a}+\color{magenta}{b})(a^2 -ab +b^2)\)
\(=\color{teal}{a}\cdot a^2 – \color{teal}{a}\cdot ab + \color{teal}{a}\cdot b^2\)
\(+\color{magenta}{b}\cdot a^2 – \color{magenta}{b}\cdot ab + \color{magenta}{b}\cdot b^2\)
\(=a^3 -a^2 b + ab^2 + a^2 b – ab^2 + b^3\)
\(=a^3 + b^3\)
まだまだ行くぞ！
① において \(a\), \(b\) は数なら何でもよい. 食べ物や乗り物でなければ.
そこで \(b\) を \(-b\) という数に替えると,
\(a^3 + (-b)^3\) \(= \{a+(-b)\}\{a^2 – a \cdot (-b) +(-b)^2\}\)
より,
\(\large\color{blue}{a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 +ab +b^2)}\)
これで 「\(3\) 乗 \(-\) \(3\) 乗」 の形の式を因数分解する公式もできたね.
① で \(\color{red}{b^{奇数}}\) の項の符号だけを逆符号にしたもの
になることもわかるはずだ.
これも念のため, 右辺を展開する左辺に戻ることを確かめよう.
\((\color{teal}{a}-\color{magenta}{b})(a^2 +ab +b^2)\)
\(=\color{teal}{a}\cdot a^2 + \color{teal}{a}\cdot ab + \color{teal}{a}\cdot b^2\)
\(-\color{magenta}{b}\cdot a^2 – \color{magenta}{b}\cdot ab – \color{magenta}{b}\cdot b^2\)
\(=a^3 +a^2 b + ab^2 – a^2 b – ab^2 – b^3\)
\(=a^3 – b^3\)
Point <因数分解 (立方の和・差)> ★★
\([1]\) \(\large\color{blue}{a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 -ab +b^2)}\)
\(b\) を \(-b\) に置き換えると,
\([2]\) \(\large\color{blue}{a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 +ab +b^2)}\)
\(b^{奇数}\) にはマイナスがつく.
■ 例題 <因数分解 (立方の和・差)> ■
次の式を因数分解せよ.
\((1)\) \(x^3 + 8\)
\((2)\) \(8a^3 – 27b^3\)
\((2)\) 北海道工業大 (歯・薬)
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■ 解答 ■
\((1)\)
\(\large\color{blue}{A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)}\)
で \(\color{blue}{A}=x\), \(\color{blue}{B}=2\) とする.
\(x^3 + 8\)
\(=x^3 + 2^3\)
\(=(x+2)(x^2 – x \cdot 2 + 2^2)\)
\(=(x+2)(x^2 – 2x +4)\) \(\cdots\) (答)
\((2)\)
\(\large\color{blue}{A^3 – B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)}\)
で \(\color{blue}{A}=2a\), \(\color{blue}{B}=3b\) とする.
\(8a^3 – 27b^3\)
\(=(2a)^3 – (3b)^3\)
\(=(2a – 3b)\{(2a)^2 + 2a \cdot 3b + (3b)^2\}\)
\(=(2a – 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2)\) \(\cdots\) (答)
■ 練習 <因数分解 (立方の和・差)> ■
次の式を因数分解せよ.
\((1)\) \(x^3 + 27\)
\((2)\) \(x^3 – 64\)
\((3)\) \(27x^3 + 8y^3\)
\((4)\) \(8a^3 -125b^3\)
\((1)\) 群馬医療福祉大 (看・リハビリ)
\((3)\) 北海道医療大 (歯・薬)
\((4)\) 関西学院大
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