\(a^3 + b^3 + c^3\) を含む式の因数分解を解説します.
● 3立方の和は因数分解できるか？ ●
\(2\) つの \(3\) 乗 (立方) の和 \(a^3 + b^3\) は, 展開公式
\(\large\color{blue}{(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 +b^3}\)
を変形することで
\(\large\color{blue}{a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab +b^2)}\)
と因数分解できたね.
(参照： 「因数分解 (2)」)
では, \(3\) つの立方の和 \(a^3 + b^3 + c^3\) も因数分解できるかな？
既知の式を利用して試みよう.
その前に一つ予想を.
\(a^3 + b^3\) の因数分解には \(a+b\) が出てきたので,
\(a^3 + b^3 +c^3\) が因数分解できたとしたら \(a+b+c\) (\(=M\) としよう) が出てくるのではないか.
つまり \(M\) をくくり出した形 \(M(\ \ \ \ \ \ \ \ )\) を予想しよう.
\(\large\color{blue}{A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 – AB + B^2)}\)
の \(\color{blue}{A}\), \(\color{blue}{B}\) は数なら何でもよいので,
\(\color{blue}{A}=a+b\), \(\color{blue}{B}=c\) とすると,
\((a+b)^3 + c^3\) \(=\{(a+b)+c\}\{(a+b)^2 – (a+b)c + c^2\}\)
\((a+b)+c=a+b+c=M\) が出てきたね！
左辺と, 右辺の \(\{\ \ \ \ \ \}\) 内をそれぞれ展開すると,
\(a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 + c^3\) \(=M(a^2 + 2ab + b^2 – ca – bc + c^2)\)
左辺に \(a^3 + b^3 + c^3\) も出てきた！
これが残るように 他項を移項する と,
\(a^3 + b^3 + c^3\) \(=M(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca)\) \(\color{red}{- 3a^2 b – 3ab^2}\)
まだまだ \(a+b+c=M\) が作れるぞ.
両辺から \(\color{red}{3abc}\) を引く と,
\(a^3 + b^3 + c^3 \color{red}{-3abc}\) \(=M(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca)\) \(- 3a^2 b – 3ab^2 \color{red}{-3abc}\)
右辺の後ろの部分は
\(-3ab(a+b+c)=\color{red}{-3abM}\)
と表されるので,
\(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc\) \(=M(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca)\) \(\color{red}{-3abM}\)
右辺から共通因数 \(M\) をくくり出すと,
\(a^3 + b^3 + c^3 – 3abc\) \(=\color{red}{M}(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab – bc – ca \color{red}{- 3ab})\)
そう, \(a^3 + b^3 + c^3\) は因数分解できないが,
\(-3abc\) を加えれば因数分解できるんだ.
\(M\) を \(a+b+c\) に戻し, \((\ \ \ \ \ )\) 内を整理すると,
\(\large\color{blue}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\large\color{blue}{=(a+b+c)}\) \(\large\color{blue}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)
● 直接 因数分解してみよう ●
次に, はじめから \(a^3 + b^3 + c^3 -3abc\) が因数分解できることがわかっている (既知) として, 直接 因数分解してみよう.
試験で 「\(a^3 + b^3 + c^3 -3abc\) を因数分解せよ. (その過程を書け.)」 なんて言われたら, 次のようにやるといい.
まず, 和の立方の展開式を変形したものを作っておく.
\((x+y)^3 = x^3 +3x^2 y + 3xy^2 + y^3\)
\((x+y)^3 = x^3 + 3xy(x+y) + y^3\)
\(\large\color{red}{x^3 + y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y)}\) \(\cdots\) ②
これより,
\(\color{red}{a^3 + b^3} + c^3 -3abc\)
\(=\color{red}{(a+b)^3 -3ab(a+b)} +c^3 – 3abc\)
(② より)
\(=A^3 -3abA +c^3 – 3abc\)
(\(a+b=A\) とおいた.)
\(=\color{red}{A^3 + c^3} – 3abA – 3abc\)
\(=\color{red}{(A+c)^3 – 3Ac(A+c)} – 3ab(A+c)\)
(② で \(x=A\), \(y=c\) とした.)
\(=(A+c)\{(A+c)^2 – 3Ac – 3ab\}\)
(\(A+c\) をくくり出した.)
\(=(a+b+c)\) \(\{(a+b+c)^2 – 3(a+b)c -3ab\}\)
\(=(a+b+c)\) \((a^2 + b^2 + c^2\) \(+ 2ab + 2bc + 2ca -3ca -3bc -3ab)\)
\(=(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)\)
● どんなとき使うの？ ●
今後,
\(\large\color{blue}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\large\color{blue}{=(a+b+c)}\) \(\large\color{blue}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)
は重要公式だ.
これを使う目印は 「\(\color{red}{3}\) つの \(\color{red}{3}\) 乗」.
例えば,
\(x^3 – 8y^3 + 6xy +1\)
という式には \(3\) つの \(3\) 乗が隠れているんだけど, どこかわかるかな？
\(1\) つは \(x^3\). これは視力さえあればわかる. つまり視力検査.
\(2\) つ目は \(y^3\)
ではなく, \(-8y^3 = (-2y)^3\).
あとでわかるが, こう考えないと公式に当てはまらないんだ.
\(3\) つ目は, そう, \(1=1^3\).
こういうただの数字にも注意だ.
\(x=a\), \(-2y=b\), \(1=c\) とすると
\(x^3 – 8y^3 +6xy +1\)
\(=x^3 + (-2y)^3 + 1^3 – 3 \cdot x \cdot (-2y) \cdot 1\)
\(=a^3 + b^3 + c^3 – 3abc\)
なので, 公式に当てはめて因数分解できるぞ.
Point <因数分解 (3立方)> ★★★
\(\large\color{blue}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\large\color{blue}{=(a+b+c)}\) \(\large\color{blue}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)
「\(3\) つの \(3\) 乗」 を見たらこの公式.
■ 例題 ■ <因数分解 (3立方)>
次の式を因数分解せよ.
\((1)\) \(x^3 + y^3 – 3xy +1\)
\((2)\) \(p^3 – q^3 – 27r^3 -9pqr\)
\((1)\) 関西大 (経・文)
\((2)\) 旭川医科大
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■ 解答 ■
\((1)\)
\(\large\color{blue}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\large\color{blue}{=(a+b+c)}\) \(\large\color{blue}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)
で \(\color{blue}{a}=x\), \(\color{blue}{b}=y\), \(\color{blue}{c}=1\) とする.
\(x^3 + y^3 – 3xy +1\)
\(=x^3 + y^3 + 1^3 – 3 \cdot x \cdot y \cdot 1\)
\(=(x+y+1)\) \((x^2 + y^2 + 1^2 – xy -y \cdot 1 – 1 \cdot x)\)
\(=(x+y+1)(x^2 + y^2 – xy – x – y – 1)\) \(\cdots\) (答)
\((2)\)
\(\large\color{blue}{a^3 + b^3 + c^3 – 3abc}\) \(\large\color{blue}{=(a+b+c)}\) \(\large\color{blue}{(a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca)}\)
で \(\color{blue}{a}=p\), \(\color{blue}{b}=-q\), \(\color{blue}{c}=-r\) とする.
\(p^3 – q^3 – 27r^3 -9pqr\)
\(=p^3 + (-q)^3 + (-3r)^3\) \(- 3 \cdot p \cdot (-q) \cdot (-3r) – 3 \cdot p \cdot (-q) \cdot (-3r)\)
\(=\{p+(-q)+(-3r)\}\) \(\{p^2 + (-q)^2 + (-3r)^2\) \(- p \cdot (-q) – (-q) \cdot (-3r) – (-3r) \cdot p\}\)
\(=(p-q-3r)\) \((p^2 + q^2 + 9r^2 +pq – 3qr + 3rp)\) \(\cdots\) (答)
■ 練習 ■ <因数分解 (3立方)>
次の式を因数分解せよ.
\((1)\) \(x^3 – 8y^3 + 6xy +1\)
\((2)\) \(8x^3 + 27y^3 +18xy -1\)
\((1)\) 北海道医療大 (歯・薬)
\((2)\) 立命館大 (薬)
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