和の立方 \((a+b)^3\), 差の立方 \((a-b)^3\) の展開公式を解説します.
● 和の立方 ●
和の平方の展開式
\(\large\color{blue}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)
の進化形として, 和の立方 (\(3\) 乗) の展開式をつくろう.
\((a+b)^2\) にもう \(1\) つ \((a+b)\) を掛けると \((a+b)^3\) になるね.
\((a+b)^3\)
\(=(a+b)(a+b)^2\)
\(=(\color{teal}{a}+\color{magenta}{b})(a^2+2ab+b^2)\)
\(=\color{teal}{a}\cdot a^2+\color{teal}{a}\cdot 2ab+\color{teal}{a}\cdot b^2\)
\(+\color{magenta}{b}\cdot a^2+\color{magenta}{b}\cdot 2ab+\color{magenta}{b}\cdot b^2\)
\(=a^3+2a^2b+ab^2\)
\(+a^2b+2ab^2+b^3\)
\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
すなわち
\(\large\color{blue}{(a+b)^3}\) \(\large\color{blue}{=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)
● 差の立方 ●
\(\large\color{blue}{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)
の \(a\), \(b\) は, 数を表すものなら何でもいいので,
\(b\) を \(-b\) という数に置き換えると,
\(\{a+(-b)\}^3\) \(=a^3\) \(+3\cdot a^2 \cdot (-b)\) \(+3\cdot a^2 \cdot(-b)^2\) \(+(-b)^3\)
すなわち,
\(\large\color{blue}{(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\)
\(-b\) を奇数回 掛けるとまたマイナスがつく \(((-b)^3=-b^3\), \((-b)^1=-b^1=-b)\) ので,
\(\color{red}{b}\) の奇数乗の項だけマイナスがつく こともわかるね.
覚えるのではなく, 理解する！
Point <展開 (和・差の立方)> ★★
\([1]\) \(\large\color{blue}{(a+b)^3}\) \(\large\color{blue}{=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)
\(\color{red}{b}\) を \(\color{red}{-b}\) に置き換える と,
\([2]\) \(\large\color{blue}{(a-b)^3}\) \(\large\color{blue}{=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\)
\(\color{red}{b^{奇数}}\) にはマイナスがつく.
■ 例題 ■ <展開 (和・差の立方)>
次の式を展開せよ.
\((1)\) \((x+2)^3\)
\((2)\) \((2x-y)^3\)
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■ 解答 ■
\((1)\)
\(\large\color{blue}{(A+B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}\)
で \(\color{blue}{A} = \color{teal}{x}\), \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{2}\) とする.
\((\color{teal}{x} + \color{magenta}{2})^3\)
\(=\color{teal}{x}^3 + 3 \cdot \color{teal}{x}^2 \cdot \color{magenta}{2} + 3\cdot \color{teal}{x} \cdot \color{magenta}{2}^2 + \color{magenta}{2}^3\)
\(=x^3+6x^2+12x+8\) \(\cdots\) (答)
\((2)\)
\(\large\color{blue}{(A-B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3}\)
で \(\color{blue}{A} = \color{teal}{2x}\), \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{y}\) とする.
\((\color{teal}{2x} – \color{magenta}{y})^3\)
\(=(\color{teal}{2x})^3 – 3 \cdot (\color{teal}{2x})^2 \cdot \color{magenta}{y} + 3 \cdot \color{teal}{2x} \cdot \color{magenta}{y}^2 – \color{magenta}{y}^3\)
\(=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\) \(\cdots\) (答)
■ 練習 ■ <展開 (和・差の立方)>
次の式を展開せよ.
\((1)\) \((x+3)^3\)
\((2)\) \((x-1)^3\)
\((3)\) \((x+2y)^3\)
\((4)\) \((2a-3b)^3\)
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