展開 (2)

和の立方  \((a+b)^3\),   差の立方  \((a-b)^3\)  の展開公式を解説します.


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● 和の立方 ●

和の平方の展開式

   \(\large\color{blue}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)

の進化形として,   和の立方 (\(3\) 乗) の展開式をつくろう.

 

\((a+b)^2\)  にもう \(1\) つ  \((a+b)\)  を掛けると  \((a+b)^3\)  になるね.

 

   \((a+b)^3\)

   \(=(a+b)(a+b)^2\)

   \(=(\color{teal}{a}+\color{magenta}{b})(a^2+2ab+b^2)\)

   \(=\color{teal}{a}\cdot a^2+\color{teal}{a}\cdot 2ab+\color{teal}{a}\cdot b^2\)

      \(+\color{magenta}{b}\cdot a^2+\color{magenta}{b}\cdot 2ab+\color{magenta}{b}\cdot b^2\)

   \(=a^3+2a^2b+ab^2\)

      \(+a^2b+2ab^2+b^3\)

   \(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

すなわち

   \(\large\color{blue}{(a+b)^3}\) \(\large\color{blue}{=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)


● 差の立方 ●

   \(\large\color{blue}{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)

の \(a\),   \(b\) は,   数を表すものなら何でもいいので,

\(b\) を \(-b\) という数に置き換えると,

   \(\{a+(-b)\}^3\) \(=a^3\) \(+3\cdot a^2 \cdot (-b)\) \(+3\cdot a^2 \cdot(-b)^2\) \(+(-b)^3\)

すなわち,

   \(\large\color{blue}{(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\)

 

\(-b\) を奇数回 掛けるとまたマイナスがつく   \(((-b)^3=-b^3\),   \((-b)^1=-b^1=-b)\)   ので,

\(\color{red}{b}\) の奇数乗の項だけマイナスがつく こともわかるね.

 

覚えるのではなく,   理解する!


Point <展開 (和・差の立方)> ★★★

   \([1]\)   \(\large\color{blue}{(a+b)^3}\) \(\large\color{blue}{=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)

\(\color{red}{b}\) \(\color{red}{-b}\) に置き換える と,

   \([2]\)   \(\large\color{blue}{(a-b)^3}\) \(\large\color{blue}{=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\)

\(\color{red}{b^{奇数}}\) にはマイナスがつく.


■ 例題 ■   <展開 (和・差の立方)>

次の式を展開せよ.

\((1)\)   \((x+2)^3\)

\((2)\)   \((2x-y)^3\)


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■ 解答 ■

\((1)\)

   \(\large\color{blue}{(A+B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}\)

で   \(\color{blue}{A} = \color{teal}{x}\),   \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{2}\)   とする.

   \((\color{teal}{x} + \color{magenta}{2})^3\)

   \(=\color{teal}{x}^3 + 3 \cdot \color{teal}{x}^2 \cdot \color{magenta}{2} + 3\cdot \color{teal}{x} \cdot \color{magenta}{2}^2 + \color{magenta}{2}^3\)

   \(=x^3+6x^2+12x+8\)   \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

   \(\large\color{blue}{(A-B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3}\)

で   \(\color{blue}{A} = \color{teal}{2x}\),   \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{y}\)   とする.

   \((\color{teal}{2x} – \color{magenta}{y})^3\)

   \(=(\color{teal}{2x})^3 – 3 \cdot (\color{teal}{2x})^2 \cdot \color{magenta}{y} + 3 \cdot \color{teal}{2x} \cdot \color{magenta}{y}^2 – \color{magenta}{y}^3\)

   \(=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\)   \(\cdots\) (答)


■ 練習 ■   <展開 (和・差の立方)>

次の式を展開せよ.

\((1)\)   \((x+3)^3\)

\((2)\)   \((x-1)^3\)

\((3)\)   \((x+2y)^3\)

\((4)\)   \((2a-3b)^3\)


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■ 解答 ■

\((1)\)

   \(\large\color{blue}{(A+B)^3}\) \(=\large\color{blue}{A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}\)

で   \(\color{blue}{A} = \color{teal}{x}\),   \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{3}\)   とする.

   \((\color{teal}{x} + \color{magenta}{3})^3\)

   \(=\color{teal}{x}^3 + 3 \cdot \color{teal}{x}^2 \cdot \color{magenta}{3} + 3 \cdot \color{teal}{x} \cdot \color{magenta}{3}^2 + \color{magenta}{3}^3\)

   \(=x^3+9x^2+27x+27\)   \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

   \(\large\color{blue}{(A-B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3}\)

で   \(\color{blue}{A} = \color{teal}{x}\),   \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{1}\)   とする.

   \((\color{teal}{x} – \color{magenta}{1})^3\)

   \(=\color{teal}{x}^3 – 3 \cdot \color{teal}{x}^2 \cdot \color{magenta}{1}+ 3 \cdot  \color{teal}{x} \cdot \color{magenta}{1}^2 – \color{magenta}{1}^3\)

   \(=x^3-3x^2+3x-1\)   \(\cdots\) (答)

 

\((3)\)

   \(\large\color{blue}{(A+B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}\)

で   \(\color{blue}{A} = \color{teal}{x}\),   \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{2y}\)   とする.

   \((\color{teal}{x}+\color{magenta}{2y})^3\)

   \(=\color{teal}{x}^3 + 3 \cdot \color{teal}{x}^2 \cdot \color{magenta}{2y} + 3 \cdot \color{teal}{x} \cdot (\color{magenta}{2y})^2 + (\color{magenta}{2y})^3\)

   \(=x^3+6x^2 y+12xy^2+8y^3\)   \(\cdots\) (答)

 

\((4)\)

   \(\large\color{blue}{(A-B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3}\)

で   \(\color{blue}{A} = \color{teal}{2a}\),   \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{3b}\)   とする.

   \((\color{teal}{2a} – \color{magenta}{3b})^3\)

   \(=(\color{teal}{2a})^3\) \(-3 \cdot (\color{teal}{2a})^2 \cdot \color{magenta}{3b}\) \(+3 \cdot \color{teal}{2a} \cdot (\color{magenta}{3b})^2\) \(-(\color{magenta}{3b})^3\)

   \(=8a^3-36a^2 b+54ab^2-27b^3\)   \(\cdots\) (答)


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