展開 (2)


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● 和の立方 ●

和の平方の展開式

 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

の進化形として, 和の立方 \((3\) 乗\()\) の展開式をつくろう.

 

\((a+b)^2\) にもう \(1\) つ \((a+b)\) を掛けると \((a+b)^3\) になるね.

 

 \(\large\color{red}{(a+b)^3}\)

 \(=(a+b)(a+b)^2\)

 \(=(\color{royalblue}{a}+\color{magenta}{b})(a^2+2ab+b^2)\)

 \(=\color{royalblue}{a}\cdot a^2+\color{royalblue}{a}\cdot 2ab+\color{royalblue}{a}\cdot b^2\)

  \(+\color{magenta}{b}\cdot a^2+\color{magenta}{b}\cdot 2ab+\color{magenta}{b}\cdot b^2\)

 \(=a^3+2a^2b+ab^2\)

  \(+a^2b+2ab^2+b^3\)

 \(\large\color{red}{=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)


● 差の立方 ●

 \(\large\color{red}{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)

の \(a\), \(b\) は, 数を表すものなら何でもいいので,

\(b\) を \(-b\) という数に置き換えると,

 \(\{a+(-b)\}^3\) \(=a^3+3\cdot a^2 \cdot (-b)+3\cdot a^2 \cdot(-b)^2+(-b)^3\)

すなわち,

 \(\large\color{red}{(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\)

 

\(-b\) を奇数回 掛けるとまたマイナスがつく \(((-b)^3=-b^3\), \((-b)^1=-b^1=-b)\) ので,

\(\color{red}{b}\) の奇数乗の項だけマイナスがつく こともわかるね.

 

覚えるのではなく, 理解する!


Point <展開 (和・差の立方)> ★★★

 \([1]\) \(\large\color{red}{(a+b)^3}\) \(\large\color{red}{=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)

\(b\) を \(-b\) に置き換えると,

 \([2]\) \(\large\color{red}{(a-b)^3}\) \(\large\color{red}{=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\)

\(b^{奇数}\) にはマイナスがつく.


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■ 例題 ■ <展開 (和・差の立方)>

次の式を展開せよ.

\((1)\) \((x+2)^3\)

\((2)\) \((2x-y)^3\)


■ 解答 ■

\((1)\)

 \((A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\)

で \(A=x\), \(B=2\) とする.

 \((x+2)^3\)

 \(=x^3+3\cdot x^2 \cdot 2+3\cdot x \cdot 2^2+2^3\)

 \(=\underline{x^3+6x^2+12x+8}\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \((A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\)

で \(A=2x\), \(B=y\) とする.

 \((2x-y)^3\)

 \(=(2x)^3-3\cdot (2x)^2 \cdot y+3\cdot 2x \cdot y^2-y^3\)

 \(=\underline{8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3}\) \(\cdots\) (答)


■ 練習 ■ <展開 (和・差の立方)>

次の式を展開せよ.

\((1)\) \((x+3)^3\)

\((2)\) \((x-1)^3\)

\((3)\) \((x+2y)^3\)

\((4)\) \((2a-3b)^3\)


■ 解答 ■

\((1)\)

 \((A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\)

で \(A=x\), \(B=3\) とする.

 \((x+3)^3\)

 \(=x^3+3\cdot x^2 \cdot 3+3\cdot x \cdot 3^2+3^3\)

 \(=\underline{x^3+9x^2+27x+27}\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \((A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\)

で \(A=x\), \(B=1\) とする.

 \((x-1)^3\)

 \(=x^3-3\cdot x^2 \cdot 1+3\cdot x \cdot 1^2-1^3\)

 \(=\underline{x^3-3x^2+3x-1}\) \(\cdots\) (答)

 

\((3)\)

 \((A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\)

で \(A=x\), \(B=2y\) とする.

 \((x+2y)^3\)

 \(=x^3+3\cdot x^2 \cdot 2y+3\cdot x \cdot (2y)^2+(2y)^3\)

 \(=\underline{x^3+6x^2 y+12xy^2+8y^3}\) \(\cdots\) (答)

 

\((4)\)

 \((A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\)

で \(A=2a\), \(B=3b\) とする.

 \((2a-3b)^3\)

 \(=(2a)^3-3\cdot (2a)^2 \cdot 3b+3\cdot 2a \cdot (3b)^2-(3b)^3\)

 \(=\underline{8a^3-36a^2 b+54ab^2-27b^3}\) \(\cdots\) (答)


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