展開 (2)

和の立方 \((a+b)^3\), 差の立方 \((a-b)^3\) の展開公式を解説します.


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● 和の立方 ●

和の平方の展開式

 \(\large\color{blue}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)

の進化形として, 和の立方 (\(3\) 乗) の展開式をつくろう.

 

\((a+b)^2\) にもう \(1\) つ \((a+b)\) を掛けると \((a+b)^3\) になるね.

 

 \((a+b)^3\)

 \(=(a+b)(a+b)^2\)

 \(=(\color{teal}{a}+\color{magenta}{b})(a^2+2ab+b^2)\)

 \(=\color{teal}{a}\cdot a^2+\color{teal}{a}\cdot 2ab+\color{teal}{a}\cdot b^2\)

  \(+\color{magenta}{b}\cdot a^2+\color{magenta}{b}\cdot 2ab+\color{magenta}{b}\cdot b^2\)

 \(=a^3+2a^2b+ab^2\)

  \(+a^2b+2ab^2+b^3\)

 \(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

すなわち

 \(\large\color{blue}{(a+b)^3}\) \(\large\color{blue}{=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)


● 差の立方 ●

 \(\large\color{blue}{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)

の \(a\), \(b\) は, 数を表すものなら何でもいいので,

\(b\) を \(-b\) という数に置き換えると,

 \(\{a+(-b)\}^3\) \(=a^3\) \(+3\cdot a^2 \cdot (-b)\) \(+3\cdot a^2 \cdot(-b)^2\) \(+(-b)^3\)

すなわち,

 \(\large\color{blue}{(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\)

 

\(-b\) を奇数回 掛けるとまたマイナスがつく \(((-b)^3=-b^3\), \((-b)^1=-b^1=-b)\) ので,

\(\color{red}{b}\) の奇数乗の項だけマイナスがつく こともわかるね.

 

覚えるのではなく, 理解する!


Point <展開 (和・差の立方)> ★★

 \([1]\) \(\large\color{blue}{(a+b)^3}\) \(\large\color{blue}{=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\)

\(\color{red}{b}\) \(\color{red}{-b}\) に置き換える と,

 \([2]\) \(\large\color{blue}{(a-b)^3}\) \(\large\color{blue}{=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}\)

\(\color{red}{b^{奇数}}\) にはマイナスがつく.


■ 例題 ■ <展開 (和・差の立方)>

次の式を展開せよ.

\((1)\) \((x+2)^3\)

\((2)\) \((2x-y)^3\)


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■ 解答 ■

\((1)\)

 \(\large\color{blue}{(A+B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}\)

で \(\color{blue}{A} = \color{teal}{x}\), \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{2}\) とする.

 \((\color{teal}{x} + \color{magenta}{2})^3\)

 \(=\color{teal}{x}^3 + 3 \cdot \color{teal}{x}^2 \cdot \color{magenta}{2} + 3\cdot \color{teal}{x} \cdot \color{magenta}{2}^2 + \color{magenta}{2}^3\)

 \(=x^3+6x^2+12x+8\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \(\large\color{blue}{(A-B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3}\)

で \(\color{blue}{A} = \color{teal}{2x}\), \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{y}\) とする.

 \((\color{teal}{2x} – \color{magenta}{y})^3\)

 \(=(\color{teal}{2x})^3 – 3 \cdot (\color{teal}{2x})^2 \cdot \color{magenta}{y} + 3 \cdot \color{teal}{2x} \cdot \color{magenta}{y}^2 – \color{magenta}{y}^3\)

 \(=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\) \(\cdots\) (答)


■ 練習 ■ <展開 (和・差の立方)>

次の式を展開せよ.

\((1)\) \((x+3)^3\)

\((2)\) \((x-1)^3\)

\((3)\) \((x+2y)^3\)

\((4)\) \((2a-3b)^3\)


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■ 解答 ■

\((1)\)

 \(\large\color{blue}{(A+B)^3}\) \(=\large\color{blue}{A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}\)

で \(\color{blue}{A} = \color{teal}{x}\), \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{3}\) とする.

 \((\color{teal}{x} + \color{magenta}{3})^3\)

 \(=\color{teal}{x}^3 + 3 \cdot \color{teal}{x}^2 \cdot \color{magenta}{3} + 3 \cdot \color{teal}{x} \cdot \color{magenta}{3}^2 + \color{magenta}{3}^3\)

 \(=x^3+9x^2+27x+27\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \(\large\color{blue}{(A-B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3}\)

で \(\color{blue}{A} = \color{teal}{x}\), \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{1}\) とする.

 \((\color{teal}{x} – \color{magenta}{1})^3\)

 \(=\color{teal}{x}^3 – 3 \cdot \color{teal}{x}^2 \cdot \color{magenta}{1}+ 3 \cdot  \color{teal}{x} \cdot \color{magenta}{1}^2 – \color{magenta}{1}^3\)

 \(=x^3-3x^2+3x-1\) \(\cdots\) (答)

 

\((3)\)

 \(\large\color{blue}{(A+B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}\)

で \(\color{blue}{A} = \color{teal}{x}\), \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{2y}\) とする.

 \((\color{teal}{x}+\color{magenta}{2y})^3\)

 \(=\color{teal}{x}^3 + 3 \cdot \color{teal}{x}^2 \cdot \color{magenta}{2y} + 3 \cdot \color{teal}{x} \cdot (\color{magenta}{2y})^2 + (\color{magenta}{2y})^3\)

 \(=x^3+6x^2 y+12xy^2+8y^3\) \(\cdots\) (答)

 

\((4)\)

 \(\large\color{blue}{(A-B)^3}\) \(\large\color{blue}{=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3}\)

で \(\color{blue}{A} = \color{teal}{2a}\), \(\color{blue}{B} = \color{magenta}{3b}\) とする.

 \((\color{teal}{2a} – \color{magenta}{3b})^3\)

 \(=(\color{teal}{2a})^3\) \(-3 \cdot (\color{teal}{2a})^2 \cdot \color{magenta}{3b}\) \(+3 \cdot \color{teal}{2a} \cdot (\color{magenta}{3b})^2\) \(-(\color{magenta}{3b})^3\)

 \(=8a^3-36a^2 b+54ab^2-27b^3\) \(\cdots\) (答)


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