展開 (1)

3項の和の平方 \((a+b+c)^2\) の展開公式を解説します.


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● 掛け算の記号に物申す ●

 \(1+2\times3\)

という計算を間違える子どもは意外に多くて,

\(2\times3\) の部分を先に計算すべきところを, \(1+2\) を先にしてしまうらしい….

 

原因の \(1\) つとして, 記号が悪い.

 

 \(1+2\times3\)

では, 記号 \(+\) と \(\times\) で区切られる数字 \(1\), \(2\), \(3\) は 「等間隔」 に並んでいて,

\(1\) と \(2\) の結びつきよりも \(\color{red}{2}\) \(\color{red}{3}\) の結びつきのほうが強い のに, そのようには見えないよね.

 

そこで, \(\times\) を \(\cdot\) に代えて

 \(1+\color{red}{2\cdot 3}\)

と書けば \(\color{red}{2}\)\(\color{red}{3}\) の間隔が詰まって見え,

「そこを先に計算!」 という意識がはたらき,

計算ミスが減るんじゃないか.

 

これからは, 記号 \(\color{red}{\cdot}\) は掛け算を表す記号として用いる.


● 整式って? ●

いくつかの用語を説明しておこう.

 

数や文字およびそれらを掛け合わせてできる式が \(\large\bf\color{red}{単項式}\) (\(\rm{monomial}\)) だ.

ただし, 掛け算の記号 「\(\times\)」, 「\(\cdot\)」 は省略してかく.

 

\((1)\) \(5\)

\((2)\) \(x\) (\(=1 \cdot x\))

\((3)\) \(-2a^2\) (\(=(-2) \cdot a \cdot a\))

\((4)\) \(3 x^2 y\) (\(=3 \cdot x \cdot x \cdot y\))

 

単項式において,

文字に掛けられた数の部分をその単項式の \(\large\bf\color{red}{係数}\) (\(\rm{coefficient}\)),

掛け合わせた文字の個数をその単項式の \(\large\bf\color{red}{次数}\) (\(\rm{degree}\))

という.

 

\((1)\) \(\color{blue}{5}\)

 \(\cdots\) 係数 \(\color{blue}{5}\), 次数 \(\color{magenta}{0}\)

 (単項式 \(0\) については, その次数は考えない.)

 

\((2)\) \(\color{blue}{-2} \color{magenta}{x}\) (\(=\color{blue}{(-2)} \cdot \color{magenta}{x}\))

 \(\cdots\) 係数 \(\color{blue}{-2}\), 次数 \(\color{magenta}{1}\)

 

\((3)\) \(\color{magenta}{a^2}\) (\(=\color{blue}{1} \cdot \color{magenta}{a} \cdot \color{magenta}{a}\))

 \(\cdots\) 係数 \(\color{blue}{1}\), 次数 \(\color{magenta}{2}\)

 

\((4)\) \(\color{blue}{7} \color{magenta}{x^2 y}\) (\(=\color{blue}{7} \cdot \color{magenta}{x} \cdot \color{magenta}{x} \cdot \color{magenta}{y}\))

 \(\cdots\) 係数 \(\color{blue}{7}\), 次数 \(\color{magenta}{3}\)

 

次が重要!

 

単項式に複数の文字が含まれているとき,

特定の文字に着目して 係数と次数を考えることがあるぞ.

 

例えば \(7 x^2 y\) は,

\(\color{red}{x}\) に着目 \(7y \color{red}{x^2}\)

 \(\cdots\) 係数 \(7y\), 次数 \(\color{red}{2}\)

 

\(\color{red}{y}\) に着目 \(7x^2 \color{red}{y}\)

 \(\cdots\) 係数 \(7x^2\), 次数 \(\color{red}{1}\)

 

といった具合だ.

 

そして,

 \(x^3 + 5xy + 2xy + (-3 y^2)\)

のように,

いくつかの単項式の和で表される式を \(\large\bf\color{red}{多項式}\) (\(\rm{polynomial}\)),

各単項式をその多項式の \(\large\bf\color{red}{項}\) (\(\rm{term}\))

という.

 

さらに, 単項式と多項式を合わせて \(\large\bf\color{red}{整式}\) (\(\rm{integral\ expression}\)) とよぶんだ.

 

また, 整式

 \(x^3 + 5xy + 2xy + (-3 y^2)\)

における \(5\color{red}{xy}\) と \(2\color{red}{xy}\) のように,

文字の部分が同じである項を \(\large\bf\color{red}{同類項}\) (\(\rm{similar\ term}\)) という.

 

これらは係数をまとめて

 \((5+2)xy=7xy\)

と表されるね.

 

そして, \(+(-3y^2)\) は単に \(-3y^2\) とかくので, 整式

 \(x^3 + 5xy + 2xy + (-3 y^2)\)

を \(\large\bf\color{red}{整理}\) すると

 \(x^3 + 7xy – 3y^2\)

となるわけだ.

 

同類項をまとめて整理した整式において,

最高次数の項の次数を この整式の \(\large\bf\color{red}{次数}\) といい,

次数が \(n\) である整式を \(\large\color{red}{n}\) \(\large\bf\color{red}{次式}\) という.

 

整式

 \(x^3 + 7xy – 3y^2\)

は, \(3\) 次の項 \(x^3\) が最も次数の高い項なので \(3\) 次式ということになるね.

 

特定の文字にも着目してみよう.

 

\(\color{red}{x}\) に着目すると

 \(\color{red}{x^3} + 7y \color{red}{x} – 3y^2\)

は \(\color{red}{x}\) \(\color{red}{3}\) 次式 で,

\(\color{red}{x}\) を含まない項 (\(0\) 次の項) を \(\large\bf\color{red}{定数項}\) (\(\rm{constant\ term}\)) という.

 

また, \(\color{red}{y}\) に着目すると

 \(x^3 + 7x \color{red}{y} – 3 \color{red}{y^2}\)

は \(\color{red}{y}\) \(\color{red}{2}\) 次式 で,

定数項は \(\color{red}{y}\) を含まない \(x^3\) だね.


● 分配法則で括弧をはずす ●

縦の長さが \(a\), 横の長さが \(b+c\) である長方形の面積は

縦 \(\times\) 横 で

 \(a(b+c)\)

これは縦 \(a\) 横 \(b\) の長方形と, 縦 \(a\) 横 \(c\) の長方形に分割してそれらを加え合わせたものに等しいよね.

つまり,

 \(\large\color{red}{a(b+c)=ab+ac}\)

 

\((\ \ \ \ \ )\) の前の \(a\) を, 中の \(b\) と \(c\) に分配して掛けているので,

\(\large\bf\color{red}{分配法則}\) (\(\rm{distributive\ law}\)) という.

いわゆる 「括弧をはずす」 という計算だ.

 

掛け算は順序を入れ替えても同じなので, \(a\) を \((\ \ \ \ \ )\) の後ろから掛けても同じね.

 

分配法則を使えばこんな式の括弧もはずせる.

 \(\large\color{red}{(a+b)(c+d)}\)

 \(=(a+b)M\)

  (\(c+d=M\) とおいた.)

 \(=aM+bM\)

 \(=a(c+d)+b(c+d)\)

 \(\large\color{red}{=ac+ad+bc+bd}\)

 

結果的には前の \((\ \ \ \ \ )\) 内の \(a\), \(b\) をそれぞれ後ろの \(c\), \(d\) に分配して掛けたようになっている.

 

縦 \(a+b\), 横 \(c+d\) の長方形の面積を考えても納得できるね.


● 乗法公式で展開する ●

整式どうしを掛け算し, \(1\) つの整式で表すのが \(\large\bf\color{red}{展開}\) (\(\rm{expansion}\)) だ.

 

そして, 掛け算のことを \(\large\bf\color{red}{乗法}\) (\(\rm{multiplication}\)) ともいい,

整式の乗法を公式化したものが お茶の間で有名な次の \(\large\bf\color{red}{乗法公式}\) だ.

 

分配法則を用いて導かれるぞ.

 

 \([1]\) \(\large\color{red}{(x+a)(x+b)}\) \(\large\color{red}{=x^2+(a+b)x+ab}\)

 \([2]\) \(\large\color{red}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)

 \([3]\) \(\large\color{red}{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\)

 \([4]\) \(\large\color{red}{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}\)

 

左辺から右辺へと見ると展開公式,

右辺から左辺へと見ると因数分解公式になる.

 

さて, \([2]\) の式についてだが, 一般に \((a+b)^2\) が \(a^2+b^2\) に 等しくない のはなぜ?

これは \(1\) 辺が \(a+b\) \((a>0\), \(b>0)\) の正方形の面積を考えるとよくわかる.

全体の面積 \((a+b)^2\) は \(\color{royalblue}{a^2}+\color{orange}{ab}+\color{orange}{ab}+\color{magenta}{b^2}\) つまり \(\color{royalblue}{a^2}+2\color{orange}{ab}+\color{magenta}{b^2}\) であって,

\(a^2+b^2\) とはならないよね.


<補足> \([1]\) ~ \([4]\) を分配法則を用いて導くと次のようになります.

 

\([1]\)

\((x+a)(x+b)\)

\(=x^2 + xb + ax + ab\)

\(=x^2 + (a+b)x + ab\)

 

\([2]\)

\((a+b)^2\)

\(=(a+b)(a+b)\)

\(=a^2 + ab + ba + b^2\)

\(=a^2 + 2ab + b^2\)

 

\([3]\)

\((a-b)^2\)

\(=(a-b)(a-b)\)

\(=a^2 – ab – ba + b^2\)

\(=a^2 -2ab + b^2\)

 

\([4]\)

\((a+b)(a-b)\)

\(=a^2 – ab + ba – b^2\)

\(=a^2 – b^2\)


● 3項の和の平方 ●

では,  \(3\) 項の和の平方 \((a+b+c)^2\) を展開するとどんな式になるかな?

 

同じく正方形の面積で考えてみよう.

 

\(1\) 辺が \(a+b+c\) の正方形の面積は, \((a+b+c)^2\) である一方…

それは縦横の線で分割された \(9\) つのエリアの面積の和

 \(\color{royalblue}{a^2}+\color{magenta}{b^2}+\color{green}{c^2}\) \(+\color{orange}{ab}+\color{orange}{ab}+\color{orange}{bc}+\color{orange}{bc}+\color{orange}{ca}+\color{orange}{ca}\)

 \(=\color{royalblue}{a^2}+\color{magenta}{b^2}+\color{green}{c^2}+2\color{orange}{ab}+2\color{orange}{bc}+2\color{orange}{ca}\)

に等しい. すなわち,

 \(\large\color{red}{(a+b+c)^2}\) \(\large\color{red}{=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\) \(\cdots\) ①

が成り立つ.

 

覚える前に, 理解する!

これが大事.

上のように理解しておけば, ちょっとひねられても, 例えば \((a+b+c+d)^2\) の展開式をかけと言われても同じようにできるでしょう.

「そんな公式, 習っていません.」

というのは, 理解と思考を放棄した者のセリフなのだ.


<補足> \([2]\) の式を直接利用して導くと次のようになります.

\(\ \ \ (a+b+c)^2\)

\(\ \ \ \ =\{(a+b)+c\}^2\)

\(\ \ \ \ =(A+c)^2\)  \((A=a+b)\)

\(\ \ \ \ =A^2+2Ac+c^2\)

\(\ \ \ \ =(a+b)^2+2(a+b)c+c^2\)

\(\ \ \ \ =a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2\)

\(\ \ \ \ =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)


● A, B, C は何でもいい ●

① の式は, 文字を替えて,

 \(\color{red}{(A+B+C)^2}\) \(\color{red}{=A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2CA}\)

としても, その式のもつ意味は変わらない.

そして, \(\color{red}{A}\), \(\color{red}{B}\), \(\color{red}{C}\) にあたるものは, 数を表すものなら何でもいい. 食べ物や乗り物はダメだが.

 

例えば, \(\color{red}{A}=a\), \(\color{red}{B}=2b\), \(\color{red}{C}=-3c\) なら こうなる.

 \(\{a+2b+(-3c)\}^2\)

 \(=a^2+(2b)^2+(-3c)^2\) \(+2\cdot a\cdot 2b+2\cdot 2b \cdot (-3c)+2\cdot (-3c)\cdot a\)


Point <展開 (3項の和の平方)> ★★★

  \(\large\color{red}{(a+b+c)^2}\) \(\large\color{red}{=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

 \(a\), \(b\), \(c\) にあたるものは, 数を表すものなら何でもよい.


■ 例題 ■ <展開 (3項の和の平方)>

\((a+2b-3c)^2\) を展開せよ.

亀田医療大 (看)


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■ 解答 ■

 \((a+2b-3c)^2\)

 \(=\{a+2b+(-3c)\}^2\)

 \(=a^2+(2b)^2+(-3c)^2\) \(+2\cdot a\cdot 2b+2\cdot 2b \cdot (-3c)+2\cdot (-3c)\cdot a\)

 \(=a^2+4b^2+9c^2+4ab-12bc-6ca\) \(\cdots\) (答)


次の練習問題は自力で解いてみましょう.


■ 練習 ■ <展開 (3項の和の平方)>

次の式を展開せよ.

\((1)\) \((-x+2y-4)^2\)

\((2)\) \((x^2-2\sqrt{3}x+y^2)^2\)

\((1)\) 城西国際大 (看)

\((2)\) 香川大 (医)


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■ 解答 ■

\((1)\)

 \(\color{red}{(A+B+C)^2}\) \(\color{red}{=A^2+B^2+C^2}\) \(\color{red}{+2AB+2BC+2CA}\)

で \(\color{red}{A}=-x\), \(\color{red}{B}=2y\), \(\color{red}{C}=-4\) とする.

 \((-x+2y-4)^2\)

 \(=\{(-x)+2y+(-4)\}^2\)

 \(=(-x)^2+(2y)^2+(-4)^2\) \(+2\cdot (-x)\cdot 2y\) \(+2\cdot 2y\cdot (-4)\) \(+2\cdot (-4)\cdot (-x)\)

 \(=x^2+4y^2+16-4xy-16y+8x\)

 \(=x^2-4xy+4y^2+8x-16y+16\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \(\color{red}{(A+B+C)^2}\) \(\color{red}{=A^2+B^2+C^2}\) \(\color{red}{+2AB+2BC+2CA}\)

で \(\color{red}{A}=x^2\), \(\color{red}{B}=-2\sqrt{3}x\), \(\color{red}{C}=y^2\) とする.

 \((x^2-2\sqrt{3}x+y^2)^2\)

 \(=\{x^2+(-2\sqrt{3}x)+y^2\}^2\)

 \(=(x^2)^2+(-2\sqrt{3}x)^2+(y^2)^2\) \(+2\cdot x^2\cdot(-2\sqrt{3}x)\) \(+2\cdot (-2\sqrt{3}x)\cdot y^2\) \(+2\cdot y^2\cdot x^2\)

 \(=x^4+12x^2+y^4\) \(4\sqrt{3}x^3-4\sqrt{3}xy^2+2x^2 y^2\)

 \(=x^4+2x^2 y^2+y^4\) \(-4\sqrt{3}x^3-4\sqrt{3}xy^2+12x^2\) \(\cdots\) (答)


\((x-a)(x-b)(x-c)\cdots (x-z)\)

の計算結果はなんと \(0\). (最後から \(3\) 番目の ( ) に注目.)

これはまさに意外な 「展開」.


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