展開 (1)

まさに意外な展開.


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● 掛け算の記号 ●

 \(1+2\times3\)

という計算を間違える小学生は意外に多くて,

\(2\times3\) の部分を先に計算すべきところを, \(1+2\) を先にしてしまうらしい….

 

原因の \(1\) つとして, 記号が悪い.

 

 \(1+2\times3\)

では, 記号 \(+\) と \(\times\) で区切られる数字 \(1\), \(2\), \(3\) は 「等間隔」 に並んでいて,

\(1\) と \(2\) の結びつきよりも \(\color{red}{2}\) \(\color{red}{3}\) の結びつきのほうが強い のに, そのようには見えないよね.

 

そこで, \(\times\) を \(\cdot\) に代えて

 \(1+\color{red}{2\cdot 3}\)

と書けば \(\color{red}{2}\)\(\color{red}{3}\) の間隔が詰まって見え, 「そこを先に計算!」 という意識がはたらき, 計算ミスが減るんじゃないか.

 

これからは, 記号 \(\color{red}{\cdot}\) は掛け算を表す記号として用いる.

 

また, \(+\) や \(-\) でつながれた \(1\) や \(2\cdot3\) を \(\large\color{red}{項}\) (\(\rm{term}\))  とよんだね.


● 乗法公式の確認 ●

すでにお茶の間で有名な, \(1\) 次式どうしの掛け算 \((\)乗法\()\) の式を確認しておこう.

 \([1]\) \(\large\color{red}{(x+a)(x+b)}\) \(\large\color{red}{=x^2+(a+b)x+ab}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \)例 \((x-2)(x+5)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\{x+(-2)\}(x+5)\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ =x^2+\{(-2)+5\}x+(-2)\cdot5\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ =x^2+3x-10\)

 \([2]\) \(\large\color{red}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)

 \([3]\) \(\large\color{red}{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\)

 \([4]\) \(\large\color{red}{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}\)

 

このように \((\ \ \ )\) をはずして項の和や差で表す式変形を \(\large\color{red}{展開}\) (\(\rm{expansion}\)) といったね.

 

さて, \([2]\) の式についてだが, 一般に \((a+b)^2\) が \(a^2+b^2\) に 等しくない のはなぜ?

これは \(1\) 辺が \(a+b\) \((a>0\), \(b>0)\) の正方形の面積を考えるとよくわかる.

tenkai1-0111-ver-2

全体の面積 \((a+b)^2\) は \(\color{royalblue}{a^2}+\color{orange}{ab}+\color{orange}{ab}+\color{magenta}{b^2}\) つまり \(\color{royalblue}{a^2}+2\color{orange}{ab}+\color{magenta}{b^2}\) であって,

\(a^2+b^2\) とはならないよね.


● 3 項の和の平方 ●

では,  \(3\) 項の和の平方 \((a+b+c)^2\) を展開するとどんな式になるかな?

 

同じく正方形の面積で考えてみよう.

 

\(1\) 辺が \(a+b+c\) の正方形の面積は, \((a+b+c)^2\) である一方…

tenkai1-0211-ver-2

それは縦横の線で分割された \(9\) つのエリアの面積の和

 \(\color{royalblue}{a^2}+\color{magenta}{b^2}+\color{green}{c^2}+\color{orange}{ab}+\color{orange}{ab}+\color{orange}{bc}+\color{orange}{bc}+\color{orange}{ca}+\color{orange}{ca}\)

 \(=\color{royalblue}{a^2}+\color{magenta}{b^2}+\color{green}{c^2}+2\color{orange}{ab}+2\color{orange}{bc}+2\color{orange}{ca}\)

に等しい. すなわち,

 \(\large\color{red}{(a+b+c)^2}\) \(\large\color{red}{=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\) \(\cdots\) ①

が成り立つ.

 

覚える前に, 理解する!

これが大事.

上のように理解しておけば, ちょっとひねられても, 例えば \((a+b+c+d)^2\) の展開式をかけと言われても同じようにできるでしょう.

「そんな公式, 習っていません.」

というのは, 理解と思考を放棄した者のセリフなのだ.


<補足> \([2]\) の式を直接利用して導くと次のようになります.

\(\ \ \ (a+b+c)^2\)

\(\ \ \ \ =\{(a+b)+c\}^2\)

\(\ \ \ \ =(A+c)^2\)  \((A=a+b)\)

\(\ \ \ \ =A^2+2Ac+c^2\)

\(\ \ \ \ =(a+b)^2+2(a+b)c+c^2\)

\(\ \ \ \ =a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2\)

\(\ \ \ \ =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)


● A,  B,  C は何でもいい ●

① の式は, 文字を替えて,

 \((A+B+C)^2\) \(=A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2CA\)

としても, その式のもつ意味は変わらない.

そして, \(A\), \(B\), \(C\) にあたるものは, 数を表すものなら何でもいい. 食べ物や乗り物はダメだ.

 

例えば, \(A=a\), \(B=2b\), \(C=-3c\) なら こうなる.

 \(\{a+2b+(-3c)\}^2\)

 \(=a^2+(2b)^2+(-3c)^2\) \(+2\cdot a\cdot 2b+2\cdot 2b \cdot (-3c)+2\cdot (-3c)\cdot a\)


Point <展開 ( 3 項の和の平方)> ★★★

  \(\large\color{red}{(a+b+c)^2}\) \(\large\color{red}{=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)

 \(a\), \(b\), \(c\) にあたるものは, 数を表すものなら何でもよい.


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■ 例題 <展開 ( 3 項の和の平方)> ■

\((a+2b-3c)^2\) を展開せよ.

亀田医療大 (看)


■ 解答 ■

 \((a+2b-3c)^2\)

 \(=\{a+2b+(-3c)\}^2\)

 \(=a^2+(2b)^2+(-3c)^2\) \(+2\cdot a\cdot 2b+2\cdot 2b \cdot (-3c)+2\cdot (-3c)\cdot a\)

 \(=a^2+4b^2+9c^2+4ab-12bc-6ca\) \(\cdots\) (答)


次の練習問題は自力で解いてみましょう.


■ 練習 <展開 ( 3 項の和の平方)> ■

次の式を展開せよ.

\((1)\) \((-x+2y-4)^2\)

\((2)\) \((x^2-2\sqrt{3}x+y^2)^2\)

\((1)\) 城西国際大 (看) \((2)\) 香川大 (医)


■ 解答 ■

\((1)\)

 \((A+B+C)^2\) \(=A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2CA\)

で \(A=-x\), \(B=2y\), \(C=-4\) とする.

 \((-x+2y-4)^2\)

 \(=\{(-x)+2y+(-4)\}^2\)

 \(=(-x)^2+(2y)^2+(-4)^2\) \(+2\cdot (-x)\cdot 2y+2\cdot 2y\cdot (-4)+2\cdot (-4)\cdot (-x)\)

 \(=x^2+4y^2+16-4xy-16y+8x\)

 \(=x^2-4xy+4y^2+8x-16y+16\) \(\cdots\) (答)

 

\((2)\)

 \((A+B+C)^2\) \(=A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2CA\)

で \(A=x^2\), \(B=-2\sqrt{3}x\), \(C=y^2\) とする.

 \((x^2-2\sqrt{3}x+y^2)^2\)

 \(=\{x^2+(-2\sqrt{3}x)+y^2\}^2\)

 \(=(x^2)^2+(-2\sqrt{3}x)^2+(y^2)^2\) \(+2\cdot x^2\cdot(-2\sqrt{3}x)\) \(+2\cdot (-2\sqrt{3}x)\cdot y^2\) \(+2\cdot y^2\cdot x^2\)

 \(=x^4+12x^2+y^4-4\sqrt{3}x^3-4\sqrt{3}xy^2+2x^2 y^2\)

 \(=x^4+2x^2 y^2+y^4\) \(-4\sqrt{3}x^3-4\sqrt{3}xy^2+12x^2\) \(\cdots\) (答)


\((x-a)(x-b)(x-c)\cdots (x-z)\)

の計算結果はなんと \(0\). (最後から \(3\) 番目の ( ) に注目.)

これは意外な展開.


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